“接下来,我要讲的,便是我从希门主、从歌庭派的工作当中学习得的最重要的概念!形式化。”
王崎这话一出口,算君的眉头就多出一道沟壑。
而在他身后,更多的少黎派算家几乎出离的愤怒了。
算主希柏澈一生当中有无数的成就。但是,他在算学本质的看法之上却广为人诟病,绝大多数算家都难以接受。
在算主看来,算学的本质,就是“形式”。单独的符号不存在任何意义。那些符号排列的“形式”才是算学。
这就好比说“1+1=2”这个最初公式里,“1”、“+”、“=”、“2”这几个符号都是无意义的,而只有那个完整等式在具有数学意义。
而另一边,歌庭派的诸多算家也心情复杂。他们脸上露出了诡谲的表情,夹杂着迷惘、愤怒。
“形式”的理念包含了一致性、完备性、可判定性。可谓是算主希柏澈、一生的理想喻最大的追求。
而否定这份理想的,正是王崎本人。
王崎使用算主的思路,否决了算主的追求,也否定了歌庭派数十年的努力。
但是,这种种复杂的心绪并没有影响到王崎。
王崎明白,现在他代表的,不是他自己,而是“正确”。
自我指涉并不是一个数学的描述——它确实是属于逻辑,但是否属于数学还有待商榷,并非是所有的数学家都承认这一点。地球也好,神州也好,都有这样的迹象。
“这一陈述无法证明”,并非狭义上的数学陈述。
哥德尔证明方法的第二步。就是将这个非数学的陈述或者说准数学的陈述,转化为一个数学的陈述。
地球将之称为——“哥德尔数化”。
——或许在神州,它会叫做“王崎数化”吧?
“一般人在理解这不完备的时候,很容易就陷入一重重自我参照的迷雾之中,难以自拔。我猜想,这大约是与康前辈的对角线证法、无穷基数违反我等天生直觉有关。也正是这一重原因。所以千百年来,我们的前辈们才会对这一重道理视而不见。”
“而非要解开这一重迷雾,就必须使用这种形式化的方法。”
王崎双手放出金光,幻化出重重光幕,无数算符在上面飞舞,排列,罗列着一个伟大的证明。
哥德尔证明不完备定理的第二部分,也是其最伟大的部分,就在这里。
“任何公理系统。所运用的算符,所能够存在的公理,都是有限的。因此,这些公理、这些算符所能够罗列出的陈述,也必定是可数的——无穷可数、道元数零、自然数的个数。就是这么描述的。”
“而这些有可能的陈述,其长度也必然是可数的。而既然还在可数无穷的范畴之内,我们就可以用自然数给它编号。每一个编号都是独一无二的。”
“然后,我们就可以建立一个集合‘中天’。这个集合‘中天’,便是包括了所有有可能陈述的‘编号’。一个公理系统之内。所有有可能的陈述,都必定在这个编号之内。”
……
讲道进行到这里的时候,已经开始脱离绝大多数人所能够理解的范畴了。什么“可数无穷”,什么“基数”、“序数”。这些都已经超过他们的理解范畴了。
就连显身现场听王崎讲道的那些逍遥修士,也有几个露出了迷惘之色。
这个少年所说的每一步,他们都可以理解。但是。这些东西凑到一起之后,究竟有什么数学意义?
完全不明白!
更多借助万仙幻境收看这“直播”的今法修,则纷纷头昏脑涨。这看似简单的证明,似乎包含着无穷的魔力,仿佛要将他们的思维拖向一个深渊。
冯落衣不得不叹了口气。以“字幕”的方式,向所有通过直播观看的修士进行解释。
这个数化的过程,说白了就是“映射”。
把算术系统中的符号、表达式和表达式的序列都映射为数——通过引进“哥德尔数”而实现了对象的数化手续。这样处理的结果,对于数理逻辑和其他有关分支来说,在研究方法上就提供了一种数字化工具,能够方便地把一些讨论对象转换为自然数或自然数的函数,能够用自然数的理论来讨论有关问题。
将一个准数学的陈述转变为一个具有数学意义的陈述。
这就是这个“数化”的意义所在。
而当这个证明进入第二阶段的后半段时,歌庭派阵中,艾克蛮轻轻叹息:“原始递归式啊……”
他的表情当中包含着十足的惋惜与悔恨。
——我也研究过这个领域啊……若是我当年能够再深入一点,会不会就能够避免了今日的劫难?
有几个歌庭派的修士立刻发来私聊:“艾兄,你对这个领域有研究?能不能在这一步绊王崎一绊?”
艾克蛮苦笑摇头。王崎这一步并没有做错。他能够将对的说成是错的吗?
同时,他也下定决心,回去就仔细研究这个往日并不被重视的领域,
当然,在场的人并不知道,这个数化的证明还有超过其本身的意义。
它同时也是递归论的源泉。
而递归论,正是现代逻辑学的最重要分支之一。
到了这个地步,王崎的证明也进入了尾声。
王崎最后一次挥动双手。算符排列成了不完备定理的证明。
“这就是全部的过程。”
全场寂静无声。
算学在这一刻走向了死亡。
“一致性与完备性不可兼得,算学无矛盾而不完备……”收看直播的许多万法门弟子,几乎哭了出来。
王崎讲完不完备定理的证明之后,便到讲坛的边缘静坐片刻。今日的讲道,便是分成了四个部分。前一个部分,讲的乃是不完备定理,接下来的一个部分,讲的则是不可判定定理。
然后,才是提问与总结的时间。
那些逍遥修士,也需要一定的时间来吸收、理解这些东西。
他闭目养神,似乎完全感觉不到周围那些巅顶大修加之于他身上的恶意。
就算举目皆敌又何妨?这里是求道者的领域,而非斗法的场合。任你说破大天,也不可能将正误逆转。
短暂的休息之后,王崎重新走回讲坛的中央。因为短暂修整而出现的窃窃私语声也渐渐消失。无数修士的注意力就集中到了王崎身上。
如同一条又一条的毒蛇,在寻找猎物的要害,力图一击毙命。
王崎继续开讲道:“在讲完了‘不全’之后,我们再来说一说‘无非’——也就是不可判定定理。”
“不可判定定理的前一部分和和不完备定理一样,都是‘自我指涉’,这里我便不再赘述。我下面就直接进入不可判定定理证明的第二个部分。”
“首先,在这里,我需得感谢图灵真人,感谢他在这个问题上对我的帮助,也感谢他提供的一种等价证明法。”
“首先,我要介绍的第一种证明法,是我自己提出的,是借助狭义图灵算器的机制……而第二个部分,图灵真人称之为‘万法万象式’。它是根据不完备定理而构造出的,一个完备而不一致的算法。”
这也是王崎和图灵真人商量好的部分。
狭义图灵算器和万法万象式——也就是图灵机和λ算法,和不完备定理证明后半段的第二阶段一样,有着超越这个证明本身的潜力。它们在后世,各自发展出了枝繁叶茂的道路。
图灵真人也很高兴,自己那个不大看得上的定理能够被传扬。王崎也需要一些逍遥修士表示支持,让自己显得不是那么势单力薄,好让更多的算家能够追随自己,开创算学的新天地。
二人可以说是一拍即合。
不可判定定理的证明过程,和那不完备相比,显得要好处理很多。尤其是第一个部分,图灵机证明。这个故事,几乎就是和王崎之前讲述的“傀儡审官”,还有蜃戏《银翼刺客》一脉相承的。
不少不属于万法门的修士,尤其是那些以“文艺”、“小说家言”为修持之法的小门派,都听得津津有味。他们听不懂王崎的理论,理解不了王崎理论背后的数学意义。但是,他们能听懂故事!他们的脑海当中几乎浮现出了无穷的故事。
可以预见,在未来的一段时间里,“傀儡人”将成为说书人口中的热门题材。
而还没有崩溃的万法门弟子,对第二种方法显出了更大的兴趣。
薄笑风整个人都处在一种懵逼的状态。“完备但是自相矛盾的系统”?这种东西真的存在?这里面有什么算学意义吗?
王崎的讲述,自午时始,自酉时而钟。当酉时的钟声在神州大地敲响的时候,这次讲道,也进入了末尾。
“综上所述,我们可以做出这样的证明……”王崎深吸一口气,讲出了最后的两句话。
“我想,我们可以自豪的宣布,希门二十三问当中最关键的第二问,第十问已经个圆满解决了。算理基础当中,最重要的一致性、完备性、可判定性证明,也已经完成。”
“算学,便要进入一个新的时代了。”
无人鼓掌。
但是,所有人感觉——一场革故鼎新的变动,或许真的要来了……(未完待续。)
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